A beleza dos fractais: dos padrões da natureza ao caos matemático
- Igor Cruz
- 10 de mar.
- 4 min de leitura
A natureza fractal da realidade
Fractais — formas geométricas que se repetem em todas as escalas — não são apenas curiosidades matemáticas. Eles estão embutidos na natureza, desde a ramificação das árvores até as bordas irregulares dos litorais. Este artigo explora como os fractais preenchem a lacuna entre a matemática e o mundo natural, com foco no icônico conjunto de Mandelbrot, suas equações recursivas e suas profundas conexões com a natureza.
A ideia deste texto é explorar como ideias simples podem nos levar a grandes descobertas, a criação de universos abstratos, a sentir um pouco o gosto do infinito, e a apreciar artisticamente a matemática.
Fractais na Natureza: Motivação e Universalidade
Fractais podem ser interpretados como a maneira da natureza otimizar complexidade. Seus padrões aparecem em:
Biologia: Brônquios pulmonares, dendritos neuronais, folhas de samambaia.
Geologia: Rios, cadeias de montanhas, raios.
Malásia, Google Earth: https://paulbourke.net/fractals/googleearth/
Esses sistemas compartilham um tema comum: processos recursivos simples geram complexidade infinita. Por exemplo, uma árvore cresce repetindo a regra “ramifique e divida” em todas as escalas. Essa eficiência — maximizando a área de superfície ou minimizando a energia — torna os fractais uma linguagem universal da natureza.
O conjunto de Mandelbrot: uma obra-prima matemática
É possivel reproduzir esses padrões que encontramos na natureza através da ajuda da matemática. Para isso, vamos utilizar a ideia de um conjunto. Você pode imaginar que um conjunto é uma grande sacola com itens dentro.
O conjunto de Mandelbrot, descoberto por Benoit Mandelbrot em 1980, é definido como o conjunto de números complexos c para os quais a sequência recursiva:
permanece comportada (ou seja, não escapa ao infinito). Para visualizar isso, façamos o seguinte:
Escolhemos um valor para c
Inputamos o valor de c escolhido na equação acima
Checamos se os valores de z são comportados
Para c = - 0.5, temos:
Para c = 1, temos:
É possível ver que os valores de z para c = 0.5 são comportados, ou seja, não crescem de maneira rápida (no caso, eles estão confinados!). Em contrapartida, vemos que os valores de z para c = 1 não são comportados, ou seja, eles crescem em uma velocidade grande.
Um valor de c que faz com que os z permaneçam comportados indica que esse c faz parte do conjunto de Mandelbrot, enquanto um valor de c em que os z não são comportados indica que esse c não faz parte do conjunto. Em outros termos, se os valores de z são comportados para uma escolha de c, então esse c vai para a sacola, caso contrário ele não vai pra sacola.
Obs: Os valores de c são números complexos, ou seja podem ser, por exemplo, c = 1 +2i, ou, c = 3, etc.
Comportados?
Quando dizemos que uma sequência é comportada, oque estamos dizendo é que essa sequência não ultrapassa um certo valor. Por exemplo, se decidirmos que esse valor é
, significa que se a sequência ultrapassar os valores entre 2 e -2, essa sequência não é comportada. Em contrapartida, se ele ficar confinado nessa região então a sequência é comportada. A escolha do valor 2 é apenas uma convenção, você pode escolher o valor que quiser.
Vamos visualizar isso para entender melhor:
No gráfico acima, percebemos que as sequências para c = -0.75 e c = -0.5 são comportadas, ou seja, estão confinadas na região hachurada. Já as sequências para c = 0.5, c = 1 e c = 2 escampam a região hachurada, portanto não são comportadas.
Visualizando o conjunto de Mandelbrot
Para visualizarmos o conjunto de Mandelbrot, nós recorreremos ao plano complexo, ou seja, o eixo x representa a parte real, e o eixo y a parte imaginária de c.
Por exemplo:
Os pontos c que estão presentes no conjunto de Mandelbrot serão pintados de preto, enquanto os pontos c que não estão no conjunto serão pintados de outra cor.
Velocidade de escape e mapas de cores: pintando o caos
A velocidade de escape (número de iterações até ∣z∣>2, por exemplo) determina a cor dos pontos fora do conjunto de Mandelbrot:
Escape rápido (exemplo, c=1) são atribuidas cores brilhantes (vermelho, amarelo)
Escape lento (próximos a borda do conjunto) são atribuidas cores escuras (azul, roxo).
Essa coloração revela o limite intrinseco do fractal, onde pequenas mudanças em
c levam a comportamentos muito diferentes — uma marca registrada do caos.
Esta é uma das imagens mais famosas quando se trata de fractais. Os pontos da imagem representados pela cor preta são os pontos que fazem parte do conjunto de Mandelbrot, e os pontos representados pelas outras cores que não a cor preta são os pontos que não fazem parte do conjunto de Mandelbrot. Abaixo, temos o contrário, os pontos alaranjados são os que estão no conjunto, e os pontos em preto não estão no conjunto.
File:Logistic Map Bifurcations Underneath Mandelbrot Set.gif." Wikimedia Commons. 19 Apr 2023, 14:32 UTC. 10 Mar 2025, 14:12 <https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=File:Logistic_Map_Bifurcations_Underneath_Mandelbrot_Set.gif&oldid=752197299>.
Características Fractais: Auto-similaridade e Universalidade
Ampliar o conjunto de Mandelbrot revela cópias menores dele mesmo, essa característica é de uma propriedade chamada auto-similaridade, ou seja, padrões se repetem em escalas distintas. Ao darmos zoom em regiões do fractal, percebemos uma complexidade enorme, além da emergência de estruturas belissimas como as que são mostradas abaixo.
Abaixo apresentamos fotos reais do Google Earth tiradas por satélite, mostrando a presença e a característica de auto-similaridade na natureza.
Nesse texto fizemos uma primeira exploração dos fractais, esse tema bastante interessante e com relações diretas as coisas ao nosso redor. Em breve haverá outro texto explorando variações desses fractais, os chamados Julia sets, ou conjunto de Julia.
O que eu gostaria de deixar como resumo da ópera é: em matemática, ideias relativamente simples (como a de determinar se um valor c faz parte da sacola chamada conjunto de Mandelbrot) geram implicações extremamente profundas, com conexões com a natureza que experienciamos todos os dias.
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